طراحی ماتریس فشرده ساز با استفاد از کدهای هندسه جبری

نمونه برداری فشرده یک روش نمونه برداری سیگنال است که این قابلیت را ایجاد می کند تا ضمن نمونه برداری با نرخ های بسیار کمتر از نرخ نایکوئیست بتوان سیگنال را با دقت مناسبی بازسازی کرد. در یک سیستم نمونه برداری فشرده با دو مسئله طراحی ماتریس فشرده ساز مناسب و یافتن شیوه مناسب برای بازسازی سیگنال روبرو هستیم. یک ماتریس فشرده ساز را می توان به صورت تصادفی یا یقینی طراحی کرد. ماتریس های با ساختار یقینی نسبت به ماتریس های تصادفی دارای مزیت هایی مانند حافظه کمتر و پیاده سازی راحت تر می باشند. در این پایان نامه بر شیوه های طراحی ماتریس، به صورت یقینی تمرکز می کنیم. ثابت شده است که اگر یک ماتریس در شرایطی موسوم به rip صدق کند؛ می توان سیگنال فشرده شده با این ماتریس را به خوبی بازسازی کرد؛ بنابراین برای طراحی ماتریس فشرده ساز روی این شرایط تمرکز می کنیم. بررسی شرایط rip در حالت کلی کار دشواری است اما خوشبختانه نشان داده شده است که اگر ماکزیمم ضرب داخلی بین هر دو ستون یک ماتریس مقدار کمی باشد؛ آنگاه آن ماتریس در شرایط rip با ثابت مناسبی، صدق می کند. یک روش معمول در طراحی این گونه از ماتریس ها، استفاده از ماتریس های تولید شده توسط کدهای کانال است. ما با تمرکز روی دسته خاصی از این کدها که به کدهای هندسه جبری موسوم هستند تلاش می کنیم ماتریس های مناسبی طراحی کنیم. با کمک این کدها چند ماتریس فشرده ساز جدید پیشنهاد می شود که نسبت به ماتریس های تصادفی عملکرد بهتری دارند. ابتدا با استفاده از چندجمله ای های همگن در فضای تصویری متناهی یک گروه از ماتریس های فشرده ساز معرفی می شود؛ این ماتریس ها دارای ابعاد متنوعی هستند و در نتیجه در عمل می توانند به طور مناسب تری با ساختارهای واقعی تطبیق یابند. با استفاده از کدهای هندسه جبری، گروه جدیدی از ماتریس های فشرده ساز ارائه می شود. در این پایان نامه بر روی دو خم جبری تحویل ناپذیر ماکزیمال تمرکز کردیم. به علاوه انتظار داریم با استفاده از این کدها بتوان ماتریس ها با ابعاد متنوعی ساخت که در عمل می توانند به طور مناسب تری با ساختارهای واقعی تطبیق یابند.